平行平板コンデンサと誘電体

電磁気学<平行平板コンデンサと誘電体に関する問題>

問 極板間隔$d$の平行板コンデンサの極板間に,誘電率が一方のところで$\varepsilon_1$,そこからの距離に比例して増加し他方の極板では$\varepsilon_2$となるように誘電体が詰めてあるとき,単位面積当たりの容量を求めよ.

極板の一方から距離$x$の位置における誘電率は,一次関数で表現され, \begin{align} \varepsilon(x)=\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}x+\varepsilon_1 \end{align} となる.ここで,極板に面密度$\pm\rho$の電荷を与えると,電束密度は,$D=\rho$であるから, \begin{align} E(x)=\dfrac{\rho}{\varepsilon(x)} \end{align} ゆえに,電位差を求めると, \begin{align} V&=\int_{0}^{d}E(x)dx\\ &=\int_{0}^{d}\dfrac{\rho}{\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}x+\varepsilon_1}\\ &=\biggl[\dfrac{\rho d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}\ln((\varepsilon_2-\varepsilon_1)x+\varepsilon_1 d)\biggr]_{0}^{d}\\ &=\dfrac{\rho d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}\ln\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} \end{align}

 よって,単位面積当たりの容量は, \begin{align} C=\dfrac{\rho}{V}=\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d\ln\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \end{align} となる.


追記

 このサイトを書くにあたって,Mathjaxを用いて作成しているのだが,$を用いて数式を記述する際にsigma等が出力されないという問題が起こっている.もし解決方法を知っている場合にはぜひご教授願いたい.