ラプラス変換を用いた簡単な微分方程式

問　$y'+3y=10\sin t,\quad y(0)=0$をラプラス変換を用いて解け．

両辺をラプラス変換すれば， \begin{align} sY+3Y=10\cdot\dfrac{1}{s^2+1} \end{align} よって， \begin{align} Y=10\cdot\dfrac{1}{s+3}\cdot\dfrac{1}{s^2+1} \end{align} ここで，部分分数分解すると， \begin{align} Y=\dfrac{A}{s+3}+\dfrac{Bs+C}{s^2+1} \end{align} 分数部は， \begin{align} As^2+A+Bs^2+Cs+3Bs+3C=10 \end{align} となるから， \begin{align} A+B=0,C+3B=0,A+3C=10 \end{align} を解いて， \begin{align} A=1,B=-1,C=3 \end{align} が求まり， \begin{align} Y&=\dfrac{1}{s+3}+\dfrac{-s+3}{s^2+1}\\ &=\dfrac{1}{s+3}-\dfrac{s}{s^2+1}+3\cdot\dfrac{1}{s^2+1}\\ &\therefore y=e^{-3t}-\cos t+3\sin t \end{align}