最小二乗法～一時回帰と二次回帰～
最小二乗法を用いて，一次関数と二次関数を回帰する手順を示す．
$N$個のデータ$(x_1,y_1)\cdots(x_N,y_N)$を線形回帰することを考える．求めたい直線を$y=ax+b$とおく．ここで， \begin{align} J=\sum_{i=1}^{N}\Bigl(y_i-(ax_i+b)\Bigr)^2 \end{align} を最小にする$a,b$を求める．ゆえに， \begin{align} \dfrac{\partial J}{\partial a}=0,\quad\dfrac{\partial J}{\partial b}=0 \end{align} を解いて，$a,b$を定めればよい．上式を$a,b$でそれぞれ偏微分すると，次式が求まる． \begin{align} &\dfrac{\partial J}{\partial a}=\sum_{i=1}^{N}(y_i-ax_i-b)(-x_i)=a\sum_{i=1}^{N}x^2_i+b\sum_{i=1}^{N}x_i-\sum_{i=1}^{N}x_iy_i \notag\\ &\dfrac{\partial J}{\partial b}=\sum_{i=1}^{N}(y_i-ax_i-b)(-1)=a\sum_{i=1}^{N}x_i+b\sum_{i=1}^{N}1-\sum_{i=1}^{N}y_i \end{align} これより，次の「正規方程式」が求まる． \begin{align} \left (\begin{array}{cc} \sum_{i=1}^{N}x^2_i & \sum_{i=1}^{N}x_i \\ \sum_{i=1}^{N}x_i & \sum_{i=1}^{N}1 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} a \\b \\ \end{array} \right) = \left (\begin{array}{cc} \sum_{i=1}^{N}x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N}y_i \\ \end{array}\right) \end{align} これを解いて，$a,b$が求まる．
2次回帰を行いたい場合は，求めたい2次式を$y=ax^2+bx+c$とし， \begin{align} J=\sum_{i=1}^{N}\Bigl(y_i-(ax^2_i+bx_i+c)\Bigr)^2 \end{align} を最小にする$a,b$を求める．ゆえに， \begin{align} \dfrac{\partial J}{\partial a}=0,\quad\dfrac{\partial J}{\partial b}=0,\quad\dfrac{\partial J}{\partial c}=0 \end{align} を解いて，$a,b$を定めればよい．上式を$a,b$でそれぞれ偏微分すると，次式が求まる． \begin{align} &\dfrac{\partial J}{\partial a}=\sum_{i=1}^{N}(y_i-ax^2_i-bx_i-c)(-x^2_i)=a\sum_{i=1}^{N}x^4_i+b\sum_{i=1}^{N}x^3_i+c\sum_{i=1}^{N}x^2_i-\sum_{i=1}^{N}x^2_iy_i \notag\\ &\dfrac{\partial J}{\partial b}=\sum_{i=1}^{N}(y_i-ax^2_i-bx_i-c)(-x_i)=a\sum_{i=1}^{N}x^3_i+b\sum_{i=1}^{N}x^2_i+c\sum_{i=1}^{N}x_i-\sum_{i=1}^{N}x_iy_i \notag\\ &\dfrac{\partial J}{\partial c}=\sum_{i=1}^{N}(y_i-ax^2_i-bx_i-c)(-1)=a\sum_{i=1}^{N}x^2_i+b\sum_{i=1}^{N}x_i+c\sum_{i=1}^{N}1-\sum_{i=1}^{N}y_i \end{align} ゆえに次の正規方程式が求まる． \begin{align} \left (\begin{array}{ccc} \sum_{i=1}^{N}x^4_i & \sum_{i=1}^{N}x^3_i & \sum_{i=1}^{N}x^2_i \\ \sum_{i=1}^{N}x^3_i & \sum_{i=1}^{N}x^2_i & \sum_{i=1}^{N}x_i \\ \sum_{i=1}^{N}x^2_1 & \sum_{i=1}^{N}x_i & \sum_{i=1}^{N}1 \ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right) = \left (\begin{array}{cc} \sum_{i=1}^{N}x^2_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N}x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N}y_i \\ \end{array}\right) \end{align} これを解いて，$a,b,c$が求まる．
ダイオードの階段接合と傾斜接合
ここでは，ダイオードの接合に関して，階段接合と傾斜接合について述べる．
階段接合
図(a)のように，$x_\mathrm{p}\leq0\leq x$のp型領域でアクセプタ濃度が一定であり，$0\leq x\leq x_\mathrm{n}$のn領域でドナー濃度が一定であるとする．
ここで，ポアソン方程式， \begin{align} \dfrac{dV^2(x)}{dx^2}=-\dfrac{\rho(x)}{\varepsilon} \end{align} を考える．$\varepsilon$は，半導体中の誘電率であり，比誘電率$\varepsilon_s$と真空中の比誘電率$\varepsilon_0$との間に，$\varepsilon=\varepsilon_s\varepsilon_0$なる関係がある．
ここで，電荷密度$\rho(x)$は，
\begin{align}
&\rho(x)=-qN_\mathrm{a},\quad x_\mathrm{p}\leq x\leq 0\\
&\rho(x)=qN_\mathrm{d},\quad\quad 0\leq x\leq x_\mathrm{n}
\end{align}
である．ここで，$N$はそれぞれアクセプタ濃度とドナー濃度である．
境界条件を考慮すると， \begin{align} &V_1(x_\mathrm{p})=0,\quad \dfrac{dV_1(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{p}}=0,\\ &V_2(x_\mathrm{n})=V_\mathrm{d}-V,\quad \dfrac{dV_2(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{n}}=0 \end{align} であり，さらに，接合部$(x=0)$において \begin{align} V_1(0)=V_2(0),\quad \dfrac{dV_1(x)}{dx}\biggr|_{x=0}=\dfrac{dV_2(x)}{dx}\biggr|_{x=0} \end{align} となる．
以上の条件を用いると， \begin{align} &\dfrac{dV_1(x)}{dx}=\dfrac{qN_\mathrm{a}}{\varepsilon}(x-x_\mathrm{p}),\\ &\dfrac{dV_2(x)}{dx}=\dfrac{qN_\mathrm{d}}{\varepsilon}(x_\mathrm{n}-x) \end{align} および， \begin{align} &V_1(x)=\dfrac{qN_\mathrm{a}}{2\varepsilon}(x-x_\mathrm{p})^2,\\ &V_2(x)=V_\mathrm{d}-V+\dfrac{qN_\mathrm{d}}{2\varepsilon}(x_\mathrm{n}-x)^2 \end{align} が求まる．ここで，接合部での条件を用いて，$x_\mathrm{p},x_\mathrm{n}$について解くと， \begin{align} &x_\mathrm{n}=\biggl(\dfrac{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{q(N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d})}\cdot \dfrac{N_\mathrm{d}}{N_\mathrm{a}}\biggr)^{\frac{1}{2}},\\ &x_\mathrm{n}=-\biggl(\dfrac{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{q(N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d})}\cdot \dfrac{N_\mathrm{a}}{N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}} \end{align} ゆえに，空乏層厚$d$は， \begin{align} d=x_\mathrm{n}-x_\mathrm{p}=\biggl(\dfrac{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)(N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d})}{qN_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}} \end{align} と求まる．また，空乏層内に存在する電荷を$Q$とすると， \begin{align} Q=-qN_\mathrm{a}x_\mathrm{p}=qN_\mathrm{d}x_\mathrm{n}=\biggl(\dfrac{2q\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)N_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}{N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}} \end{align} となり，単位面積当たりの静電容量$C$は， \begin{align} C\equiv-\dfrac{d Q}{dV}=\biggl(\dfrac{q \varepsilon N_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)N_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{\varepsilon}{d} \end{align} となる．この容量は障壁容量と呼ばれる．ゆえに，階段接合では$1/C^2\propto(V_\mathrm{d}-V)$となることが分かる．
傾斜接合
図(b)のような接合を考える．電荷密度は， \begin{align} &\rho(x)=qax,\quad x_\mathrm{p}\leq x\leq 0\\ &\rho(x)=qax,\quad 0\leq x\leq x_\mathrm{n} \end{align} である．境界条件は， \begin{align} &V_1(x_\mathrm{p})=0,\quad \dfrac{dV_1(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{p}}=0,\\ &V_2(x_\mathrm{n})=V_\mathrm{d}-V,\quad \dfrac{dV_2(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{n}}=0 \end{align} であるから，ポアソン方程式を解いて， \begin{align} x_\mathrm{n}=-x_\mathrm{p}=\biggl[\dfrac{3\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{2qa}\biggr]^{\frac{1}{3}} \end{align} となる．ゆえに，空乏層厚は， \begin{align} d=x_\mathrm{n}-x_\mathrm{p}=\biggl[\dfrac{12\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{qa}\biggr]^\frac{1}{3} \end{align} となり，単位面積当たりの容量$C$は， \begin{align} C\equiv-\dfrac{d Q}{dV}=\biggl[\dfrac{\varepsilon^2qa}{12(V_\mathrm{d}-V)}\biggr]^{\frac{1}{3}}=\dfrac{\varepsilon}{d} \end{align} ゆえに，$1/C^3\propto(V_\mathrm{d}-V)$となることが示される．
LaTeXで図を横並びに配置する方法＆図の位置調整方法
図を横並びに挿入
LaTexでレポート等を作成しているときに，図を横並びに配置したい時があるだろう．そんな時は次のようにするとよい．
\begin{figure}[H] \begin{tabular}{ccc} \begin{minipage}{.33\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.75\linewidth]{fig/fig_1.png} \caption{$a=-1$の時} \label{f1} \end{minipage} \begin{minipage}{.33\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.75\linewidth]{fig/fig_2.png} \caption{$a=0$の時} \label{f2} \end{minipage} \begin{minipage}{.33\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.75\linewidth]{fig/fig_3.png} \caption{$a=1$の時} \label{f3} \end{minipage} \end{tabular} \end{figure}
これで図を横並びにできる．(もちろんファイル名は適当なもの．)
上は三つ横並びだが，二つも同様にできる．
\begin{figure}[H] \begin{tabular}{cc} \begin{minipage}{.5\textwidth} \centering \includegraphics[width=1,0\linewidth]{fig/figure_1.png} \caption{a} \label{fig_first} \end{minipage} \begin{minipage}{.5\textwidth} \centering \includegraphics[width=1.0\linewidth]{fig/figure_2.png} \caption{b} \label{fig_second} \end{minipage} \end{tabular} \end{figure}
二つを見比べればお分かりかと思うが，
\begin{tabular}{cc}
のcc部分が図の数であり，
\begin{minipage}{.33\textwidth}
の数字部分が横幅を何分割(何割占有するか)を表している．
今回は直接関係ないが，
\begin{figure}[H]
部分の位置を操作する[]内は，Hにするとよい．図や表の挿入について調べると，[htbp]のようなソースがよく出てくるが，個人的に[H]のほうが挿入したい位置に来てくれて，いまのところ特に問題はない．([htbp]などの書き方をすると，思ったところに来ないのではないだろうか．)
パッケージに関しては，
\usepackage{here}
をプリアンブルに書いておけばいい．
位置調整
さて，図を横並びに挿入していると，図の大きさが違っているなどして高さがずれるときがある．そんな時は，
\vspace{xmm}
で位置を調整してやるといい．(xに数字を入れる．)
ただ問題は，これをどの頭につけるかだが，これがちょっとややこしい．自分が試してうまくいったのは，
\begin{minipage}{.33\textwidth} \vspace{5mm}\centering \includegraphics[width=0.75\linewidth]{fig/fig.png} \caption{図の挿入} \label{f} \end{minipage}
にするか，
\begin{minipage}{.33\textwidth} \centering \vspace{5mm}\includegraphics[width=0.75\linewidth]{fig/fig.png} \caption{図の挿入} \label{f} \end{minipage}
にすれば，図とキャプションが一緒に動いてくれる．なんとなく
\begin{minipage}
の頭につけるような気がするがそうではないらしい．
図の挿入に関しては，今回紹介したコードとは違っているものもあるようなので，適宜試してもらいたい．(ただ，上で示したようなコードを書けば問題はないと思う．)
画像の形式に関して
(画像形式に関して詳しくなく，自分で試した程度の情報なので参考程度に)
今回載せたコードの画像形式は「png」にした．画像形式には，「ラスター」と「ベクター」形式があるが，pngはラスターに当たる．ラスターにはほかにjpeg等があり，広く使われるが画像を拡大すると解像度が低下し，鮮明に見えなくなる．対してベクターにはeps等があり，これは画像の拡大・縮小に問わず，常に高解像度を維持してくれる．レポートを書く際にはeps形式で保存してあげたほうがより綺麗に挿入できると思われる．
ブロッホの定理～ブロッホ関数～
ブロッホ(Ernst Simon Bloch)は，周期ポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の解が \begin{align} \psi_\mathrm{k}(\boldsymbol{r})=u_\mathrm{k}(\boldsymbol{r})\exp(i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}) \end{align} という特別な形を持つという重要な定理を証明した．
ここで，$u_\mathrm{k}(\boldsymbol{r})$は結晶格子の周期をもち，$u_\mathrm{k}(\boldsymbol{r})=u_\mathrm{k}(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{T})$という関係を満たす．$\boldsymbol{T}$は格子の並進ベクトルである．
平面波$\exp(i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r})$と$u_\mathrm{k}(\boldsymbol{r})$の積の形で，波動関数の固有関数が表現される．
この式の形の電子波動関数は"ブロッホ関数"と呼ばれ，進行波の和に分解され，これを集めてイオン核のポテンシャルの場を自由に伝搬する電子を表現する波束の形にすることができる．
定理の証明は以下である．
長さ$Na$の輪上で$N$個の同等の格子点を考える．ポテンシャルエネルギーは周期$a$で周期的であり，$U(x)=U(x+na)$と表現される．ここで，$n$は整数である．対称性から \begin{align} \psi(x+a)=E\psi(x)\quad(\mathrm{A}) \end{align} という波動関数を考える．輪を一周すると，$\psi(x)$は1価関数であるから， \begin{align} \psi(x+Na)=\psi(x)=E^N\psi(x) \end{align} とできる．よって，$E$は1の$N$乗根の一つとなり， \begin{align} E=\exp\biggl(i\dfrac{2\pi n}{N}\biggr)_,\quad n= 0,1,2,\cdots,N-1 \end{align} となる．ゆえに \begin{align} \psi(x)=u_\mathrm{k}(x)\exp\biggl(i\dfrac{2\pi nx}{Na}\biggr) \end{align} は，$u_\mathrm{k}(x)$が$a$の周期を持つ，つまり$u_\mathrm{k}(x)=u_\mathrm{k}(x+a)$であれば，(A)式を満たすことが分かる．以上がブロッホ関数と一致する．
ゼーベック効果，ペルチェ効果およびトムソン効果の概説
ゼーベック効果
ここに1本のn形半導体棒があるとして，その一端を加熱することを考える．半導体棒は加熱によって温度勾配が生じ，結果として低温側に伝導電子が集まる．一方で，高温側には伝導電子を低温側へ送り出した後に母体元素ないしは添加不純物のイオンによる正の電荷が集まる．ゆえに，半導体棒には高温側から低温側へ向かう方向に電界が生じ，電子の流れを妨げるように平衡状態を保とうとする．棒の両端には起電力$\Delta V$が生じ，温度差$\Delta T$が小さい範囲においてはこれに比例し， \begin{align} \Delta V=\alpha\Delta T \end{align} で表される関係がある．ここで，$\alpha$はゼーベック係数であり，物質により異なった値を有している．さらに，$\Delta V$は熱起電力と呼ばれ，一般に温度差$\Delta T=T_\mathrm{h}-T_\mathrm{l}$が大きい場合には， \begin{align} V_\mathrm{s}=\int_{T_\mathrm{h}}^{T_\mathrm{l}}\alpha(T)dT \end{align} で与えられる．従って，ゼーベック係数$\alpha$は熱起電力の温度に対する微分係数として与えられて， \begin{align} \alpha=\dfrac{dV_\mathrm{s}}{dT} \end{align} とできる．
以上の説明は，n形半導体についての議論だが，p形半導体では， 正孔がキャリアとなるから，正孔の拡散とフェルミ準位の変化により起電力が生じ，その向きはn形半導体と時と逆向きとなる．一般に，p形半導体のゼーベック係数を正としている．
ペルチェ効果
上と同様のn形半導体の棒を考える．ここで，半導体の両端に，何らかの方法で電気抵抗，熱伝導および熱起電力のない，つまり理想的な導線を接続し，さらに負荷$L$を接続して熱電回路を作るとする．半導体の抵抗を$r$，負荷抵抗を$R$とすれば，回路には \begin{align} I=\dfrac{V_\mathrm{s}}{R+r} \end{align} が流れる．この電流により半導体と導線の接合部には，高温部で吸熱，低温部で発熱が行われ，系の平衡を保とうとするので，電流が流れない場合と同じ温度差を保つには，より多くの加熱を必要とする．この発熱現象をペルチェ効果という．
ペルチェ効果の原理を定性的に説明すると次のようになる．
金属や半導体の接合部を電流$I$が流れるとき，電子が金属電極のフェルミ準位から半導体の伝導帯に励起するために電子が熱エネルギーを吸収したり，その逆に電子が脱励起する際に熱エネルギーを放出する．これがペルチェ効果の原理である．このとき熱量$Q(\mathrm{[J/s]}=W)$は電流$I$に比例し， \begin{align} Q=\pi I \end{align} で表される．ここで，$\pi$はペルチェ係数であり，ゼーベック係数と \begin{align} \pi=\alpha T \end{align} なる関係がある．
トムソン効果
ある一種の金属あるいは半導体の2点間に温度差があるときに，そこを電流が流れるとジュール熱以外の熱の発生または吸収が行われる現象．温度勾配$dT/dx$に沿った電流$I$が流されるときに発生するトムソン熱は単位長さ当たり， \begin{align} Q=\gamma \dfrac{d T}{dx}I \end{align} で与えらえる．ここで，$\gamma$はトムソン係数であり，$\gamma＞0$の時に吸熱を表す．
トランジスタについて
トランジスタの分類
トランジスタはその構造から，大別して，バイポーラトランジスタと電界効果トランジスタ(FET：field effect transistor)がある．ここでは，バイポーラトランジスタについてその性質を述べる．
図2は，バイポーラトランジスタの回路図である．
バイポーラトランジスタは三つの端子を持ち，それぞれベース，コレクタ，エミッタと呼ばれる．
バイポーラトランジスタの電流，電圧特性
図3は，バイポーラトランジスタの電流，電圧を示している．
npn形とnpn形では，電圧および電流の向きが逆である．これらの電圧と電流の関係を図4に示す．
図(a)は，ベースエミッタ間電圧に対する，ベース電流の関係を示している．この関係は，ダイオードの特性と同じものである．これは，ベースとエミッタがpn接合となっているため当然である．
図(b)は，コレクタエミッタ間電圧に対するコレクタ電流の変化を示したものである．コレクタ電流は，コレクタエミッタ間電圧に依存せず一定の値をとることが分かる．コレクタ電流は，ベース電流によって図の異なった曲線をとる．
$I_\mathrm{C}$と$I_\mathrm{B}$には， \begin{align} I_\mathrm{C}=\beta_0I_\mathrm{B} \end{align} なる関係がある．ここで，$\beta_0$は比例定数で，直流電流増幅率である．その大きさは，$100\sim 500$程度である．
このように，コレクタ電流はベース電流によって制御される．
また，ベース電流，コレクタ電流およびエミッタ電流にはキルヒホッフの法則に基づき， \begin{align} I_\mathrm{E}=I_\mathrm{C}+I_\mathrm{B} \end{align} なる関係があり， \begin{align} I_\mathrm{E}=I_\mathrm{C}+\dfrac{I_\mathrm{C}}{\beta_0}=\biggl(1+\dfrac{1}{\beta_0}\biggr)I_\mathrm{C} \end{align} とできる．ここで，$\beta_0\gg1$であるから，上式は次のように近似できる． \begin{align} I_\mathrm{E}\fallingdotseq I_\mathrm{C} \end{align} また， \begin{align} I_\mathrm{B}=\dfrac{I_\mathrm{C}}{\beta_0}\fallingdotseq \dfrac{I_\mathrm{E}}{\beta_0} \end{align} とでき，$\beta_0\gg1$であるから，$I_\mathrm{B}$は，$I_\mathrm{C},I_\mathrm{E}$に比べて，無視し得る程度に小さい電流であることが分かる．
