ダイオードの階段接合と傾斜接合
ここでは，ダイオードの接合に関して，階段接合と傾斜接合について述べる．
階段接合
図(a)のように，$x_\mathrm{p}\leq0\leq x$のp型領域でアクセプタ濃度が一定であり，$0\leq x\leq x_\mathrm{n}$のn領域でドナー濃度が一定であるとする．
ここで，ポアソン方程式， \begin{align} \dfrac{dV^2(x)}{dx^2}=-\dfrac{\rho(x)}{\varepsilon} \end{align} を考える．$\varepsilon$は，半導体中の誘電率であり，比誘電率$\varepsilon_s$と真空中の比誘電率$\varepsilon_0$との間に，$\varepsilon=\varepsilon_s\varepsilon_0$なる関係がある．
ここで，電荷密度$\rho(x)$は，
\begin{align}
&\rho(x)=-qN_\mathrm{a},\quad x_\mathrm{p}\leq x\leq 0\\
&\rho(x)=qN_\mathrm{d},\quad\quad 0\leq x\leq x_\mathrm{n}
\end{align}
である．ここで，$N$はそれぞれアクセプタ濃度とドナー濃度である．
境界条件を考慮すると， \begin{align} &V_1(x_\mathrm{p})=0,\quad \dfrac{dV_1(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{p}}=0,\\ &V_2(x_\mathrm{n})=V_\mathrm{d}-V,\quad \dfrac{dV_2(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{n}}=0 \end{align} であり，さらに，接合部$(x=0)$において \begin{align} V_1(0)=V_2(0),\quad \dfrac{dV_1(x)}{dx}\biggr|_{x=0}=\dfrac{dV_2(x)}{dx}\biggr|_{x=0} \end{align} となる．
以上の条件を用いると， \begin{align} &\dfrac{dV_1(x)}{dx}=\dfrac{qN_\mathrm{a}}{\varepsilon}(x-x_\mathrm{p}),\\ &\dfrac{dV_2(x)}{dx}=\dfrac{qN_\mathrm{d}}{\varepsilon}(x_\mathrm{n}-x) \end{align} および， \begin{align} &V_1(x)=\dfrac{qN_\mathrm{a}}{2\varepsilon}(x-x_\mathrm{p})^2,\\ &V_2(x)=V_\mathrm{d}-V+\dfrac{qN_\mathrm{d}}{2\varepsilon}(x_\mathrm{n}-x)^2 \end{align} が求まる．ここで，接合部での条件を用いて，$x_\mathrm{p},x_\mathrm{n}$について解くと， \begin{align} &x_\mathrm{n}=\biggl(\dfrac{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{q(N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d})}\cdot \dfrac{N_\mathrm{d}}{N_\mathrm{a}}\biggr)^{\frac{1}{2}},\\ &x_\mathrm{n}=-\biggl(\dfrac{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{q(N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d})}\cdot \dfrac{N_\mathrm{a}}{N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}} \end{align} ゆえに，空乏層厚$d$は， \begin{align} d=x_\mathrm{n}-x_\mathrm{p}=\biggl(\dfrac{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)(N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d})}{qN_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}} \end{align} と求まる．また，空乏層内に存在する電荷を$Q$とすると， \begin{align} Q=-qN_\mathrm{a}x_\mathrm{p}=qN_\mathrm{d}x_\mathrm{n}=\biggl(\dfrac{2q\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)N_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}{N_\mathrm{a}+N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}} \end{align} となり，単位面積当たりの静電容量$C$は， \begin{align} C\equiv-\dfrac{d Q}{dV}=\biggl(\dfrac{q \varepsilon N_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}{2\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)N_\mathrm{a}N_\mathrm{d}}\biggr)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{\varepsilon}{d} \end{align} となる．この容量は障壁容量と呼ばれる．ゆえに，階段接合では$1/C^2\propto(V_\mathrm{d}-V)$となることが分かる．
傾斜接合
図(b)のような接合を考える．電荷密度は， \begin{align} &\rho(x)=qax,\quad x_\mathrm{p}\leq x\leq 0\\ &\rho(x)=qax,\quad 0\leq x\leq x_\mathrm{n} \end{align} である．境界条件は， \begin{align} &V_1(x_\mathrm{p})=0,\quad \dfrac{dV_1(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{p}}=0,\\ &V_2(x_\mathrm{n})=V_\mathrm{d}-V,\quad \dfrac{dV_2(x)}{dx}\biggr|_{x=x_\mathrm{n}}=0 \end{align} であるから，ポアソン方程式を解いて， \begin{align} x_\mathrm{n}=-x_\mathrm{p}=\biggl[\dfrac{3\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{2qa}\biggr]^{\frac{1}{3}} \end{align} となる．ゆえに，空乏層厚は， \begin{align} d=x_\mathrm{n}-x_\mathrm{p}=\biggl[\dfrac{12\varepsilon(V_\mathrm{d}-V)}{qa}\biggr]^\frac{1}{3} \end{align} となり，単位面積当たりの容量$C$は， \begin{align} C\equiv-\dfrac{d Q}{dV}=\biggl[\dfrac{\varepsilon^2qa}{12(V_\mathrm{d}-V)}\biggr]^{\frac{1}{3}}=\dfrac{\varepsilon}{d} \end{align} ゆえに，$1/C^3\propto(V_\mathrm{d}-V)$となることが示される．
