RL,RC,LC回路の過渡現象解析

RL,RC,LC回路の過渡現象をラプラス変換を用いて解析する.

1 RL回路
RL回路

上図のようなRL回路において$t=0$で直流電圧$E$を加えるとき,流れる電流を示せ.

 $t>0$において,回路方程式は \begin{align} Ri+L\dfrac{di}{dt}=E \end{align} とできる.ここでラプラス変換すると \begin{align} RI(s)+L sI(s)-LI(0)=\dfrac{E}{s} \end{align} 初期条件は,$t=0$で,$i=0$だから, \begin{align} (R+Ls)I(s)=\dfrac{E}{s} \end{align} となる.ゆえに, \begin{align} I(s)&=\dfrac{E}{s(sL+R)}\\ &=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+\frac{R}{L}} \end{align} と部分分数分解して,留数の性質を用いれば \begin{align} A&=\biggl[\dfrac{E}{sL+R}\biggr]_{s=0}=\dfrac{E}{R},\\ B&=\biggl[\dfrac{E}{s}\biggr]_{s=-\frac{R}{L}}=-\dfrac{E}{R} \end{align} と求まる. よって, \begin{align} I(s)=\dfrac{E}{Rs}-\dfrac{E}{R}\dfrac{1}{s+\frac{R}{L}} \end{align} ゆえに, \begin{align} i(s)=\dfrac{E}{R}\biggl(1-\varepsilon^{-\frac{R}{L}t}\biggr) \end{align} (電気回路分野では電圧$e$と区別するために,自然対数をしばしば$\varepsilon$で表現する.)

2 RC回路
RC回路

上図のようなRC回路において$t=0$で直流電圧$E$を加えるとき,流れる電流を示せ.ただし,キャパシタ$C$には初期電荷$Q$があるとする.

$t>0$において回路方程式は \begin{align} R\dfrac{d q}{dt}+\dfrac{q}{C}=E \end{align} ここで,$i=\dfrac{d q}{dt}$を用いた.ラプラス変換すると, \begin{align} &R sQ(s)-RQ(0)+\dfrac{Q(s)}{C}=\dfrac{E}{s}\\ &\Leftrightarrow (R s+\dfrac{1}{C})Q(s)=\dfrac{E}{s}+RQ\\ &\Leftrightarrow (s+\dfrac{1}{RC})Q(s)=\dfrac{E}{R}\cdot\dfrac{1}{s}+Q\\ &\therefore Q(s)=\dfrac{E}{R}\cdot\dfrac{1}{s(s+\frac{1}{RC})}+\dfrac{Q}{s+\frac{1}{RC}} \end{align} ここで,第一項を部分分数分解して \begin{align} Q(s)&=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+\frac{1}{RC}}\\ A&=\biggl[\dfrac{1}{s+\frac{1}{RC}}\biggr]_{s=0}=RC\\ B&=\biggl[\dfrac{1}{s}\biggr]_{s=-\frac{1}{RC}}=-RC \end{align} となる.ゆえに, \begin{align} Q(s)=\dfrac{EC}{s}-\dfrac{EC}{s+\frac{1}{RC}}+\dfrac{Q}{s+\frac{1}{RC}} \end{align} よって, \begin{align} &q(s)=EC-EC\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t}+Q\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t}\\ &\therefore i(s)=\dfrac{d q(s)}{dt}=\biggl(\dfrac{E}{R}-\dfrac{Q}{RC}\biggr)\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t} \end{align} (補足)キャパシタが出てくる回路では,ラプラス変換の時間積分の性質を用いて,回路方程式を \begin{align} Ri+\dfrac{1}{C}\int i dt=E \end{align} として解くこともできる.

3 LC回路
LC回路

上図のようなLC回路で,$t=0$で直流電圧$E$を加えたときどのような電流が流れるか.ただし,キャパシタ$C$の初期電荷は$0$とする.

$t>0$のとき,回路方程式は, \begin{align} L\dfrac{d^2 q}{dt^2}+\dfrac{q}{s}=E \end{align} ラプラス変換すると, \begin{align} &L s^2Q(s)-L sQ(0)-LQ'(0)+\dfrac{Q(s)}{s}=\dfrac{E}{s}\\ &\Leftrightarrow \biggl(L s^2+\dfrac{1}{C}\biggr)Q(s)=\dfrac{E}{s}\\ &\therefore Q(s)=\dfrac{E}{L}\cdot\dfrac{1}{s(s^2+\frac{1}{LC})} \end{align} ここで, \begin{align} Q(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B s+D}{s^2+\frac{1}{LC}} \end{align} と部分分数分解して,通分して定数を求めれば, \begin{align} A=LC,B=-LC,D=0 \end{align} が求まる.ゆえに, \begin{align} Q(s)=\dfrac{EC}{S}-EC\dfrac{s}{s^2+\frac{1}{LC}} \end{align} よって, \begin{align} q(s)&=EC-EC\cos\sqrt{\dfrac{1}{LC}}t\\ i(s)&=\dfrac{d q(s)}{dt}=\dfrac{EC}{\sqrt{LC}}\sin\sqrt{\dfrac{1}{LC}}t\\ &=\dfrac{E}{\sqrt{\dfrac{L}{C}}}\sin\sqrt{\dfrac{1}{LC}}t \end{align} 結果から,電流は正弦的に振動することが確認できる.これがLC回路の特性を示している.

追記

ラプラス変換を用いて回路解析を行う際に必要な数学的知識は,

・時間微分ラプラス変換性質

・時間積分ラプラス変換性質

・留数を用いた定数の決定

ラプラス(逆)変換

等である.それぞれ分からないところは調べられたい.

その他,畳み込み積分,初期値定理および最終値定理等を用いることがあるため,使えるようにしておきたい.