多変数関数の連続性
問
\begin{align}
f(x,y)=&\dfrac{x^3+(y+4)x^2+2y^2}{2x^2+y^2}\quad (x,y)\neq (0,0),\\
=&2\quad (x,y)=(0,0)
\end{align}
で表される関数が，$\mathbb{R^2}$で連続かどうか調べよ．
解
連続性の定義に従って議論する(*)．
始めに，$f(x,y)\neq(0,0)$において，$2x^2+y^2\neq0$であるから，この関数は正しく定義されている．また，$f(x,y)\neq(0,0)$において関数は有利関数であるから，連続である．
ここで， \begin{align} \dfrac{x^3+(y+4)x^2+2y^2}{2x^2+y^2}-2=&\dfrac{x^3+x^2y+2(2x^2+y^2)}{2x^2+y^2}-2\\ =&\dfrac{x^3+x^2y}{2x^2+y^2} \end{align} ここで，$(x,y)=(r\cos\phi,r\sin\phi)$と極座標表示すると， \begin{align} f(r\cos\phi,r\sin\phi)-2=&\dfrac{r^3\cos^3\phi+r^2\cos^2\phi\cdot r\sin\phi}{2t^2\cos^2\phi+r^2\sin^2\phi}\\ =&r\cdot\dfrac{\cos^2\phi(\cos\phi+\sin\phi)}{1+\cos^2\phi}\quad(r＞0) \end{align} ここで，\begin{align} &0\leq|\cos^2\phi|\leq1,\\ &0\leq|\cos\phi+\sin\phi|=\biggl|\sqrt{2}\sin\biggl(\phi+\dfrac{\pi}{4}\biggr)\biggr|\leq\sqrt{2},\\ &0＜\biggl|\dfrac{1}{1+\cos^2\phi}\biggr|\leq1 \end{align} であるから， \begin{align} \biggl|\dfrac{\cos^2\phi(\cos\phi+\sin\phi)}{1+\cos^2\phi}\biggr|\leq\sqrt{2} \end{align}
また，$|f(x,y)-2|\geq0$より， \begin{align} 0\leq|f(x,y)-2|\leq\sqrt{2}r \end{align}
ここで， \begin{align} \lim_{r\rightarrow 0}\sqrt{2}r=0 \end{align} であるから，はさみうちの原理より， \begin{align} \lim_{r\rightarrow 0}|f(x,y)-2|=0 \end{align} これは，$r\rightarrow 0$で，$\phi$に依存することなく$f(x,y)$が$2$に収束することを示している．
ゆえに，関数$f(x,y)$は原点$(0,0)$でも連続である．よって，関数$f(x,y)$は$\mathbb{R^2}$で連続である．
(*)関数の連続性
関数$f(x,y)$が$(x,y)=(0,0)$で連続ならば， \begin{align} \lim_{(x,y)=(0,0)}f(x,y)=f(0,0) \end{align} が成り立つ．
