慣性モーメントの応用問題

慣性モーメントに関連した力学問題

問　外径\(2a\)，内径\(a\)，質量\(M\)の中空円筒がある．その外径に糸を巻き，一端を天井に固定した．糸を鉛直にして円筒を放すと，円筒は回転しながら落下する．このとき次の問いに答えよ．

(1)\(O\)点周りの慣性モーメント\(I\)を求めよ．

面密度を\(\rho\)とすると，半径\(r\)，\(r+dr\)の間の質量は，\(2\pi rdr\rho\)であるから， \begin{align} M&=\int_{0}^{2a}2\pi\rho rdr-\int_{0}^{a}2\pi\rho rdr\\ &=2\pi\rho\biggl[\dfrac{1}{2}r^2\biggr]_{0}^{2a}-2\pi\rho\biggl[\dfrac{1}{2}r^2\biggr]_{0}^{a}\\ &=3\pi\rho a^2\\ &\therefore \rho=\dfrac{M}{3\pi a^2} \end{align} となる．ゆえに，慣性モーメント\(I\)は， \begin{align} I&=\int_{a}^{2a}r^2\cdot 2\pi r\rho dr\\ &=2\pi a\biggl[\dfrac{1}{4}r^4\biggr]_{a}^{2a}\\ &=2\pi\rho\cdot \dfrac{15}{4}a^4=\dfrac{5}{2}Ma^2 \end{align}

(2)糸の張力\(T\)，慣性モーメント\(I\)として，円筒の運動方程式を示し，落下する円筒の加速度を求めよ．ただし，下方への座標を\(x\)，円筒の回転角\(\theta\)とする．また，重力加速度は\(g=9.8\mathrm{m/s^2}\)とする．

鉛直方向は， \begin{align} M\dfrac{d^2x}{dt^2}=Mg-T \end{align} 回転方向は， \begin{align} I\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=2aT \end{align} となる．

ここで，\(x=2a\theta\)なる関係から， \begin{align} \dfrac{d^2x}{dt^2}=2a\dfrac{d^2\theta}{dt^2} \end{align} が分かる．これを運動方程式に代入すると， \begin{align} \dfrac{5}{2}Ma^2\cdot \dfrac{1}{2a}\dfrac{d^2x}{dt^2}&=2aT\\ \dfrac{5}{8}M\dfrac{d^2x}{dt^2}=T \end{align} ゆえに， \begin{align} &M\dfrac{d^2x}{dt^2}=Mg-\dfrac{5}{8}M\dfrac{d^2x}{dt^2}\\ &\therefore \dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{8}{13}g\quad\cdots\mathrm{(i)} \end{align} となる．

(3)円筒が放たれた後，\(0.5\mathrm{m}\)落下した．この時の円筒の速度を求めよ．

式(i)より， \begin{align} v=\dfrac{dx}{dt}&=\int\dfrac{8}{13}gdt\\ &=\dfrac{8}{13}gt+C\biggr|_{t=0}=0\\ \therefore C=0 \end{align} ここで，\(C\)は積分定数である．

　さらに， \begin{align} x&=\int\dfrac{8}{13}gt dt\\ &=\dfrac{4}{13}gt^2+D\biggr|_{t=0}=0\\ \therefore D=0 \end{align} \(D\)は積分定数である．

ゆえに，\(0.5\mathrm{m}\)落下するのに要する時間は， \begin{align} \dfrac{4}{13}gt^2&=\dfrac{1}{2}\\ t^2&=\dfrac{13}{8g}\\ \therefore t&=\sqrt{\dfrac{13}{8g}}\quad(\because t＞0) \end{align} 以上より， \begin{align} v=\dfrac{8}{13}g\cdot \sqrt{\dfrac{13}{8g}}=\sqrt{\dfrac{8}{13}g}\fallingdotseq 2.46 \end{align} もちろん，高校物理で登場する速度と位置の関係式を用いても同様の結果が得られる．