ε-δ論法の図形的捉え方

$\varepsilon-\delta$論法の図形的捉え方

　ここでは，$\varepsilon-\delta$論法の図形的な考察を試みる．

　図1のように，$x\rightarrow a$において関数$f(x)$が$\alpha$に収束するという状況を考える．

　$f(x)$の値が限りなく$\alpha$に近づくということは，$f(x)$と$\alpha$との誤差を限りなく小さくすることができるということであり，すなわち，与えられたどんなに小さな正の実数$\varepsilon$に対しても，$f(x)$と$\alpha$との差を$\varepsilon$よりも小さくすることができるということを意味する．

　そこで，図2のように$y$軸上に，誤差の範囲として$\alpha$との差が$\varepsilon$よりも小さな区間，つまり開区間$(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$を考える．

　このとき，これに応じて$\alpha$を中心とする開区間$(a-\delta,a+\delta)$を十分に小さくとる．

　$\delta$が十分に小さければ，$x$が$x\neq a$を満足する範囲で，開区間$(a-\delta,a+\delta)$の中を動く限りは，$f(x)$の値が誤差の範囲$(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$に収まるはずである．

　逆にこのようなことを論ずることができるならば，与えられたどんなに小さい誤差$\varepsilon$に対しても，$x$と$a$の距離を十分に小さくとれば，$f(x)$と$\alpha$の誤差を$\varepsilon$よりも小さく収めることができるということを， \begin{align} \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha \end{align} の意味と解釈するというわけである．