全微分可能性の議論

全微分可能性について

　全微分可能性について取り上げる．

　始めにランダウの記号$o$について述べておく．

　点$a$の近傍で定義されている関数$f,g$に対し， \begin{align} \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \end{align} のとき， \begin{align} f(x)=o(g(x))\quad(x\rightarrow a) \end{align} と書くものである．

全微分可能性

　$D\in \mathbb{R}^2$で定義された関数$f(x,y)$が$(a,b)$で全微分可能であるとは， \begin{align} f(x,y)-f(a,b)=m(x-a)+n(y-b)+o(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}) \end{align} なる$m,n$が存在するということである．ここで，$m=f_x(a,b),n=f_y(a,b)$である．

つまり， \begin{align} \lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}\dfrac{f(x,y)-f(a,b)-f_x(a,b)-f_y(a,b)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}} \end{align} が存在するということである．

　このとき，平面 \begin{align} z=f(a,b)+m(x-a)+n(y-b) \end{align} を曲面$f(x,y)$の$(x,y)=(a,b)$における接平面という．

　以上が全微分可能性の定義である．実際に全微分可能性を確かめたい場合には，与えられた関数を全微分可能性の定義に適用し，それが極限を持つかどうかを調べてあげればよい．極限を持つかどうかの議論は，以前述べた直線や曲線に沿って極限をとることで，その値がどうなるかという話題である．