ニュートン法と数列

ニュートン法と数列

問　ニュートン法を用いて，$\sqrt[3]{2}$に収束する数列を構成せよ．

　まず，ニュートン法について説明する．

　関数$f(x)$は，$[a,b]$を含む開区間上で2回微分可能で，次の条件を満たすとする． \begin{align} \mathrm{(i)}&\quad f(a)＜,f(b)＞0\\ \mathrm{(ii)}&\quad f'(x)＞0,f''(x)＞0\quad(a\leqq x\leqq b) \end{align}

　このとき，$f(x)=0$は区間$[a,b]$において，ただ一つの解$\alpha$をもつ．また数列$\{c_n\}$を， \begin{align} c_1=b,\quad c_{n+1}=c_n-\dfrac{f(c_n)}{f'(c_n)}\quad(n\geqq1) \end{align} と定めると，数列$\{c_n\}$は単調減少で，$\alpha$に収束する．

解

　関数$f(x)=x^3-2$を考える．

　関数$f(x)$は，閉区間$[1,2]$を含む開区間で定義される．また， \begin{align} f(1)=-1＜0,\quad f(2)=6＞0 \end{align} である．更に，$x＞0$で \begin{align} f'(x)=3x^2＞0,\quad f''(x)=6x＞0 \end{align} であるから，すべての$x\in[1,2]$において \begin{align} f'(x)＞0,\quad f''(x)＞0 \end{align} を満たす．

　ゆえに，以下の漸化式， \begin{align} c_1=2,\quad c_{n+1}=c_n-\dfrac{c_n^2-2}{3c_n^2}=\dfrac{2}{3}\biggl(c_n+\dfrac{1}{c_n^2}\biggr) \end{align} で構成される数列$\{c_n\}$は$\sqrt[3]{2}$に収束する．