置換積分の典型問題

典型的な置換積分＜大学数学＞

　ここでは，大学数学でよく見かける置換積分の問題を取り上げる． $$ \int\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx $$ において置換を行い，不定積分を求める．

置換方法

$$\sqrt{x^2+a}=t-x \quad\cdots(1)$$とする．そして，これから$x$，$dx$，および$\sqrt{x^2+a}$を$t$で表現する．

　まず，$x$について，式(1)の両辺を二乗して， $$x^2+a=t^2+2tx+a^2\\ \therefore\quad x=\dfrac{t^2-a}{2t}$$ 次に，$dx$については，上で求めた$x$を$t$で微分すれば， $$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{t^2+a}{2t^2}$$ 　最後に，$\sqrt{x^2+a}$について，$x$を用いて， $$\sqrt{x^2+a}=t-\dfrac{t^2-a}{2t} =\dfrac{t^2+a}{2t}$$ 以上の置換を用いて，不定積分を計算する．

(与式) \begin{align} &=\int\biggl(\dfrac{t^2-a}{2t}\biggr)^2\cdot\dfrac{2t}{t^2+a}\cdot\dfrac{t^2+a}{2t^2}\\ &=\dfrac{1}{4}\int\biggl(t-\dfrac{2a}{t}+\dfrac{a^2}{t^3}\biggr)dt\\ &=\dfrac{1}{4}\biggl[\dfrac{1}{2}t^2-2a\ln|t|-\dfrac{a^3}{2t^2}\biggr]\\ &=\dfrac{1}{4}\biggl(\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+a})^2-2a\ln|x+\sqrt{x^2+a}|-\dfrac{a^2}{2}\dfrac{1}{(x+\sqrt{x^2+a})^2}\biggr) \end{align}

　第3項において，分母の有利化を施して，次式が得られる． \begin{align} \dfrac{1}{4}\biggl(\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+a})^2-2a\ln|x+\sqrt{x^2+a}|-\dfrac{a^2}{2}\dfrac{(x-\sqrt{x^2+a})^2}{a^2}\biggr) \end{align} 　以上より， \begin{align} &\dfrac{1}{4}\biggl(\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+a})^2-\dfrac{1}{2}(x-\sqrt{x^2+a})^2\biggr)-\dfrac{a}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a}|\\ =&\dfrac{1}{2}x\sqrt{x^2+a}-\dfrac{a}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a}|． \end{align}

　このような置換積分を行う場合には，被積分関数の形が似通っていることが多い．このような形の関数を見た場合には，$t-x$の置換を試してみることが重要である．