2変数関数の極限

2変数関数の極限問題

　2変数関数の極限に関する問題を取り上げる．

問

関数$f(x)=\dfrac{x^3+2y^3}{2x^3+y^3}$は，$(x,y)\rightarrow(0,0)$のとき極限をもたないことを示す．

　極限を考える際に，直線$y=mx,(m\in \mathbb{R})$に沿って，$(x,y)$を$(0,0)$に近づけるとする．

　$x\neq0$とすると， \begin{align} f(x,mx)=\dfrac{x^3+2m^3x^3}{2x^3+m^3x^3}=\dfrac{1+2m^3}{2+m^3} \end{align} となる．ここで，$x\rightarrow0$のとき，$f(x,mx)$は$\dfrac{1+2m^3}{2+m^3}$に収束することが分かる．

　しかし，この極限値は，直線の傾き($m\in \mathbb{R}$)に依存する．

　ゆえに，極限値は$(x,y)$の$(0,0)$への近づけ方に依存するといえる．

　以上より，関数$f(x)=\dfrac{x^3+2y^3}{2x^3+y^3}$は，$(x,y)\rightarrow(0,0)$のとき極限をもたない．(QED)

　この直線に沿って極限をとる方法以外にも，極座標表示を用いる方法もある．