体積積分の座標表示

　初等電磁気学を学習する際に，必ず登場するであろう体積積分における座標変換の手法を述べる．これは，電磁気学で初めに触れる人も多いだろうが，初歩的なベクトル解析であるから，その手法を理解することは非常に重要である．

　電磁気学を学習した際に，$dv=\rho d\rho d\phi dz,dv=r^2\sin\theta drd\theta d\phi$を暗記した方は少なくないと思われるが，これは解析学の微分・積分分野で学習した重積分の座標変換を用いたものである．以下で解説する．

　多変数において変数変換を行う際には，ヤコビアン$J$(Jacobian matrix)を用いる． \begin{align} J = \left |\begin{array}{cc} \dfrac{dx}{du} & \dfrac{dx}{dv} \\ \dfrac{dy}{du} & \dfrac{dy}{dv}\\ \end{array}\right| \end{align} を用いて， \begin{align} dxdy=Jdudv \end{align}

と変数変換される．

円柱座標系

　円筒座標系では，変数$\rho,\phi,z$を用いて表現する．これらを用いて$x,y,z$は， \begin{align} x&=\rho\cos\phi,\\ y&=\rho\sin\phi,\\ z&=z \end{align} と表現される．ゆえにヤコビアンは， \begin{align} J = \left |\begin{array}{ccc} \dfrac{dx}{d\rho} & \dfrac{dx}{d\phi} & \dfrac{dx}{dz} \\ \dfrac{dy}{d\rho} & \dfrac{dy}{d\phi}& \dfrac{dy}{dz} \\ \dfrac{dz}{d\rho} & \dfrac{dz}{d\phi} & \dfrac{dz}{dz} \\ \end{array}\right| &=\left |\begin{array}{ccc} \cos\phi & -\rho\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \rho\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right|\\ &=\rho \end{align} と求まる．ゆえに，変数変換は， $$dxdydz=\rho d\rho d\phi dz$$ となる．

球座標系

　球座標系では，変数$r,\theta,\phi$を用いて表現する．これらを用いて，$x,y,z$は， \begin{align} x&=r\sin\theta\cos\phi,\\ y&=r\sin\theta\sin\phi,\\ z&=r\cos\theta \end{align} と表現される．ゆえにヤコビアンは， \begin{align} J =& \left |\begin{array}{ccc} \dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d\theta} & \dfrac{dx}{d\phi} \\ \dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d\theta}& \dfrac{dy}{d\phi} \\ \dfrac{dz}{dr} & \dfrac{dz}{d\theta} & \dfrac{dz}{d\phi} \\ \end{array}\right| \\ =&\left |\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \end{array}\right|\\ =&(0+r^2\sin\theta\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2\sin^3\theta\sin^2\phi)\\ &-(-r^2\sin\theta\cos^2\theta\sin^2\phi+0+-r^2\sin^3\theta\cos^2\phi)\\ =&r^2\sin\theta \end{align} と求まる．ゆえに，変数変換は， $$dxdydz=r^2\sin\theta drd\theta d\phi$$ となる．

追記

　このように，多変数関数の変数変換を行えば，簡単に体積積分で登場する変数変換が求まる．結果を記憶するだけでなく，導出される過程，および物事の根幹を体系的につかむことができるような勉強を心掛けたい．