ガウスの法則の典型問題

ガウスの法則(Gauss's low)＜電磁気学＞

　電磁気学を学ぶ上で欠くことのできないGaussの法則について述べる．

Gaussの法則

　閉曲面の総電荷を$Q$とするとき，$E_n$を面要素$dS$における$\boldsymbol{E}$の外向きの法線方向成分とし，その閉曲面上で積分すると， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint E_n dS=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \end{align} と表される．ここで，Gaussの定理(ベクトル解析分野)を用いる．Gaussの定理は， \begin{align} \iiint_V\text{div}\boldsymbol{E}\cdot dV=\iint_S\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} \end{align} である．ゆえに， \begin{align} \iiint_V\text{div}\boldsymbol{E}\cdot dV=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \end{align} と求まる．ここで， \begin{align} Q=\iiint_V\rho dV \end{align} であるから，これよりGaussの法則の微分形， \begin{align} \text{div}\boldsymbol{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \end{align} が求まる．ただし，微分形に関しては，以下に示す問題等において実際にはあまり用いられない．

問1　半径$a$の球内に電荷$Q$が一様密度で分布している．このときの球内外の電界を求めよ．

半径$r$の球を考える．

(i)球の外部($r＞a$)に関して，Gaussの法則を適用する．ここで，電気力線は球の中心から対称に出ていくから， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=4\pi r^2E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \end{align}

(ii)球の内部($r＜a$)に関して，Gaussの法則を適用する．ここで，半径$r$の球に含まれる電荷は$\dfrac{Q r^3}{a^3}$であるから， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=4\pi r^2E=\dfrac{Q r^3}{\varepsilon_0 a^3}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^3}r \end{align}

問2　半径$a$の無限に長い円柱内に，単位長さ当たり$\lambda$で一様に電荷が分布している．このときの円柱内外に生じる電界を求めよ．

半径$r$の単位長さ(高さが1)の同軸円筒を考える．

(i)円筒外部($r＞a$)において，Gaussの法則を適用して， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=2\pi rE=\dfrac{\lambda}{\varepsilon_0}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \end{align}

(ii)円筒内部($r＜a$)において，Gaussの法則を適用する．ここで，半径$r$の単位長さ円筒に含まれる電荷は$\dfrac{r^2}{a^2}\lambda$であるから， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=2\pi rE=\dfrac{\lambda r^2}{\varepsilon_0 a^2}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a^2}r \end{align}

以下に，各問の結果をグラフにしたものを示す．