微分方程式の応用問題(大学院入試問題)

微分方程式の応用

問　方程式$\phi(x+y)+\phi(x-y)=\phi(x)\cdot\phi(y)$を満たす関数$\phi$を求めよ．

解

　与式を$x$で微分すると， \begin{align} &\phi'(x+y)+\phi'(x-y)=\phi'(x)\cdot\phi(y),\\ &\phi''(x+y)+\phi''(x-y)=\phi''(x)\cdot\phi(y)\quad\cdots(1) \end{align} となる． 　次に，与式を$y$で微分すると， \begin{align} &\phi'(x+y)-\phi'(x-y)=\phi(x)\cdot\phi'(y),\\ &\phi''(x+y)+\phi''(x-y)=\phi(x)\cdot\phi''(y)\quad\cdots(2) \end{align} となる． 　式$(1),(2)$から， \begin{align} \dfrac{\phi''(x)\phi(y)}{\phi(x)\phi''(y)}=1 \end{align} が求まる．ゆえに， \begin{align} \dfrac{\phi''(x)}{\phi(x)}=\dfrac{\phi''(y)}{\phi(y)}=a\quad(a\text{：定数}) \end{align} これを微分方程式として解く．この際，$a$の値で場合分けを行う．

(i)$a=c^2＞0$のとき \begin{align} \phi''(x)=c^2\phi(x) \end{align} ここで，特性方程式， \begin{align} \lambda^2-c^2=0 \end{align} を解くと， \begin{align} \lambda=\pm c \end{align} ゆえに微分方程式の解は， \begin{align} \phi(x)=Ae^{cx}+Be^{-cx}\quad(A,B\text{：任意定数}) \end{align} ここで，元の方程式に解を代入すると， \begin{align} &Ae^{c(x+y)}+Be^{-c(x+y)}+Ae^{c(x-y)}+Be^{-c(x-y)}\\ =&(Ae^{cx}+Be^{-cx})(Ae^{cy}+Be^{-cy})\\ \Leftrightarrow&Ae^{c(x-y)}+Be^{-c(x-y)}-ABe^{c(x-y)}-ABe^{-c(x-y)}=0\\ \Leftrightarrow&A(1-B)e^{c(x-y)}+B(1-A)e^{-c(x-y)}=0\\ &\therefore 1-B=0,1-A=0,\text{または，}A=0,B=0\\ \end{align} 以上より， \begin{align} \phi(x)=e^{cx}+e^{-cx},\phi(x)=0 \end{align}

(ii)$a=0$のとき \begin{align} &\phi''(x)=0,\\ &\therefore \phi'(x)=A\\ &\therefore \phi(x)=Ax+B\quad(A,B\text{：任意定数}) \end{align} 元の方程式に代入すると， \begin{align} &A(x+y)+B+A(x-y)+B=(Ax+B)(Ay+B)\\ \Leftrightarrow&2Ax+2B=A^2xy+ABx+ABy+B^2=0\\ \Leftrightarrow&A^2xy+A(B-2)x+ABy+B(B-2)=0\\ &\therefore A^2=0,A(B-2)=0,AB=0,B(B-2)=0\\ &\therefore A=0,B=2,\text{または，}A=0,B=0 \end{align} 以上より， \begin{align} \phi(x)=2,\phi(x)=0 \end{align}

(iii)$a=-c^2＜0$のとき \begin{align} \phi''(x)=-c^2\phi(x) \end{align} 特性方程式， \begin{align} \lambda^2+c^2=0 \end{align} を解くと， \begin{align} \lambda=\pm ic \end{align} よって， \begin{align} \phi(x)=A\cos cx+B\sin cx\quad(A,B\text{：任意定数}) \end{align} 元の方程式に代入すると， \begin{align} &A\cos c(x+y)+B\sin c(x+y)+A\cos c(x-y)+B\sin c(x-y)\\ =&(A\cos cx+B\sin cx)(A\cos cy+B\sin cy)\\ \Leftrightarrow&2A\cos cx\cos cy+2B\sin cx\cos cy\\ =&A^2\cos cx\cos cy+B^2\sin cx\sin cy+AB\sin c(x+y)\\ \Leftrightarrow&A(A-2)\cos cx\cos cy+B^2\sin cx\sin cy-2B\sin cx\cos cy\\ &+AB\sin cx\cos cy+AB\cos cx\sin cy=0\\ &\therefore A=2,B=0,,\text{または，}A=0,B=0 \end{align} よって， \begin{align} \phi(x)=2\cos cx,\phi(x)=0 \end{align}