ニュートン法と数列
ニュートン法と数列
問 ニュートン法を用いて，$\sqrt[3]{2}$に収束する数列を構成せよ．
まず，ニュートン法について説明する．
関数$f(x)$は，$[a,b]$を含む開区間上で2回微分可能で，次の条件を満たすとする． \begin{align} \mathrm{(i)}&\quad f(a)＜,f(b)＞0\\ \mathrm{(ii)}&\quad f'(x)＞0,f''(x)＞0\quad(a\leqq x\leqq b) \end{align}
このとき，$f(x)=0$は区間$[a,b]$において，ただ一つの解$\alpha$をもつ．また数列$\{c_n\}$を， \begin{align} c_1=b,\quad c_{n+1}=c_n-\dfrac{f(c_n)}{f'(c_n)}\quad(n\geqq1) \end{align} と定めると，数列$\{c_n\}$は単調減少で，$\alpha$に収束する．
解
関数$f(x)=x^3-2$を考える．
関数$f(x)$は，閉区間$[1,2]$を含む開区間で定義される．また， \begin{align} f(1)=-1＜0,\quad f(2)=6＞0 \end{align} である．更に，$x＞0$で \begin{align} f'(x)=3x^2＞0,\quad f''(x)=6x＞0 \end{align} であるから，すべての$x\in[1,2]$において \begin{align} f'(x)＞0,\quad f''(x)＞0 \end{align} を満たす．
ゆえに，以下の漸化式， \begin{align} c_1=2,\quad c_{n+1}=c_n-\dfrac{c_n^2-2}{3c_n^2}=\dfrac{2}{3}\biggl(c_n+\dfrac{1}{c_n^2}\biggr) \end{align} で構成される数列$\{c_n\}$は$\sqrt[3]{2}$に収束する．
全微分可能性の議論
全微分可能性について
全微分可能性について取り上げる．
始めにランダウの記号$o$について述べておく．
点$a$の近傍で定義されている関数$f,g$に対し， \begin{align} \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \end{align} のとき， \begin{align} f(x)=o(g(x))\quad(x\rightarrow a) \end{align} と書くものである．
全微分可能性
$D\in \mathbb{R}^2$で定義された関数$f(x,y)$が$(a,b)$で全微分可能であるとは， \begin{align} f(x,y)-f(a,b)=m(x-a)+n(y-b)+o(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}) \end{align} なる$m,n$が存在するということである．ここで，$m=f_x(a,b),n=f_y(a,b)$である．
つまり， \begin{align} \lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}\dfrac{f(x,y)-f(a,b)-f_x(a,b)-f_y(a,b)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}} \end{align} が存在するということである．
このとき，平面 \begin{align} z=f(a,b)+m(x-a)+n(y-b) \end{align} を曲面$f(x,y)$の$(x,y)=(a,b)$における接平面という．
以上が全微分可能性の定義である．実際に全微分可能性を確かめたい場合には，与えられた関数を全微分可能性の定義に適用し，それが極限を持つかどうかを調べてあげればよい．極限を持つかどうかの議論は，以前述べた直線や曲線に沿って極限をとることで，その値がどうなるかという話題である．
ε-δ論法の図形的捉え方
$\varepsilon-\delta$論法の図形的捉え方
ここでは，$\varepsilon-\delta$論法の図形的な考察を試みる．
図1のように，$x\rightarrow a$において関数$f(x)$が$\alpha$に収束するという状況を考える．
$f(x)$の値が限りなく$\alpha$に近づくということは，$f(x)$と$\alpha$との誤差を限りなく小さくすることができるということであり，すなわち，与えられたどんなに小さな正の実数$\varepsilon$に対しても，$f(x)$と$\alpha$との差を$\varepsilon$よりも小さくすることができるということを意味する．
そこで，図2のように$y$軸上に，誤差の範囲として$\alpha$との差が$\varepsilon$よりも小さな区間，つまり開区間$(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$を考える．
このとき，これに応じて$\alpha$を中心とする開区間$(a-\delta,a+\delta)$を十分に小さくとる．
$\delta$が十分に小さければ，$x$が$x\neq a$を満足する範囲で，開区間$(a-\delta,a+\delta)$の中を動く限りは，$f(x)$の値が誤差の範囲$(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$に収まるはずである．
逆にこのようなことを論ずることができるならば，与えられたどんなに小さい誤差$\varepsilon$に対しても，$x$と$a$の距離を十分に小さくとれば，$f(x)$と$\alpha$の誤差を$\varepsilon$よりも小さく収めることができるということを， \begin{align} \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha \end{align} の意味と解釈するというわけである．
慣性モーメントの応用問題
慣性モーメントに関連した力学問題
問 外径\(2a\)，内径\(a\)，質量\(M\)の中空円筒がある．その外径に糸を巻き，一端を天井に固定した．糸を鉛直にして円筒を放すと，円筒は回転しながら落下する．このとき次の問いに答えよ．
(1)\(O\)点周りの慣性モーメント\(I\)を求めよ．
面密度を\(\rho\)とすると，半径\(r\)，\(r+dr\)の間の質量は，\(2\pi rdr\rho\)であるから， \begin{align} M&=\int_{0}^{2a}2\pi\rho rdr-\int_{0}^{a}2\pi\rho rdr\\ &=2\pi\rho\biggl[\dfrac{1}{2}r^2\biggr]_{0}^{2a}-2\pi\rho\biggl[\dfrac{1}{2}r^2\biggr]_{0}^{a}\\ &=3\pi\rho a^2\\ &\therefore \rho=\dfrac{M}{3\pi a^2} \end{align} となる．ゆえに，慣性モーメント\(I\)は， \begin{align} I&=\int_{a}^{2a}r^2\cdot 2\pi r\rho dr\\ &=2\pi a\biggl[\dfrac{1}{4}r^4\biggr]_{a}^{2a}\\ &=2\pi\rho\cdot \dfrac{15}{4}a^4=\dfrac{5}{2}Ma^2 \end{align}
(2)糸の張力\(T\)，慣性モーメント\(I\)として，円筒の運動方程式を示し，落下する円筒の加速度を求めよ．ただし，下方への座標を\(x\)，円筒の回転角\(\theta\)とする．また，重力加速度は\(g=9.8\mathrm{m/s^2}\)とする．
鉛直方向は， \begin{align} M\dfrac{d^2x}{dt^2}=Mg-T \end{align} 回転方向は， \begin{align} I\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=2aT \end{align} となる．
ここで，\(x=2a\theta\)なる関係から， \begin{align} \dfrac{d^2x}{dt^2}=2a\dfrac{d^2\theta}{dt^2} \end{align} が分かる．これを運動方程式に代入すると， \begin{align} \dfrac{5}{2}Ma^2\cdot \dfrac{1}{2a}\dfrac{d^2x}{dt^2}&=2aT\\ \dfrac{5}{8}M\dfrac{d^2x}{dt^2}=T \end{align} ゆえに， \begin{align} &M\dfrac{d^2x}{dt^2}=Mg-\dfrac{5}{8}M\dfrac{d^2x}{dt^2}\\ &\therefore \dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{8}{13}g\quad\cdots\mathrm{(i)} \end{align} となる．
(3)円筒が放たれた後，\(0.5\mathrm{m}\)落下した．この時の円筒の速度を求めよ．
式(i)より， \begin{align} v=\dfrac{dx}{dt}&=\int\dfrac{8}{13}gdt\\ &=\dfrac{8}{13}gt+C\biggr|_{t=0}=0\\ \therefore C=0 \end{align} ここで，\(C\)は積分定数である．
さらに， \begin{align} x&=\int\dfrac{8}{13}gt dt\\ &=\dfrac{4}{13}gt^2+D\biggr|_{t=0}=0\\ \therefore D=0 \end{align} \(D\)は積分定数である．
ゆえに，\(0.5\mathrm{m}\)落下するのに要する時間は， \begin{align} \dfrac{4}{13}gt^2&=\dfrac{1}{2}\\ t^2&=\dfrac{13}{8g}\\ \therefore t&=\sqrt{\dfrac{13}{8g}}\quad(\because t＞0) \end{align} 以上より， \begin{align} v=\dfrac{8}{13}g\cdot \sqrt{\dfrac{13}{8g}}=\sqrt{\dfrac{8}{13}g}\fallingdotseq 2.46 \end{align} もちろん，高校物理で登場する速度と位置の関係式を用いても同様の結果が得られる．
システムのブロック線図の代数的簡略化
システムのブロック線図の簡約化
制御工学の基本的な部分であるブロック線図を簡約する問題を取り上げる．
問1 次のブロック線図を簡約化し，その伝達関数$Y/U$を求めよ．
解答の方針としては，適切な場所に任意の変数を割り当て，代数的に解くというものである．他に，ブロック線図を等価交換を施してから計算するという方法もあるが，代数的に解いたほうが個人的には分かりやすく，手間も掛からない．
解
まず，$G_1$を通過した量を$V$とし，$H_1$を通過した量を$X$とおく．各ブロックにおいて， \begin{align} V&=G_1(U-X)\\ Y&=G_2V\\ X&=H_1(V-H_2Y) \end{align} が求まる．これから，$V,X$を消去すれば， \begin{align} V&=G_1U-G_1H_1V+G_1H_1H_2Y\\ \Leftrightarrow& (1+G_1H_1)V=G_1U+G_1H_1H_2Y\\ &\therefore Y=\dfrac{G_1G_2}{1+G_1H_1}U+\dfrac{G_1G_2H_1H_2}{1+G_1H_1}Y\quad(\because Y=G_2V) \end{align} よって， \begin{align} \dfrac{Y}{U}=\dfrac{G_1G_2}{1+G_1H_1-G_1G_2H_1H_2} \end{align} このように簡単な代数方程式で伝達関数を求めることができる．
もう一つ例題を示しておく．
問2 次のブロック線図を簡約化し，その伝達関数$Y/U$を求めよ．
解
問1と同様に変数を割り当てる．今回は$G_2$に入る量を$V$とおく(1と異なり，通過した量ではないことに注意)．各ブロックにおいて， \begin{align} V&=G_2V+Y\\ Y&=G_1(U-G_2V) \end{align} が求まる．よって， \begin{align} (1-G_2)V&=Y\\ V&=\dfrac{1}{1-G_2}Y \end{align} となり， \begin{align} Y&=G_1 U-G_1G_2 V\\ &=G_1 U-\dfrac{G_1G_2}{1-G_2}Y\\ \Leftrightarrow & \dfrac{1-G_2+G_1G_2}{1-G_2}Y=G_1U\\ &\therefore \dfrac{Y}{U}=\dfrac{G_1(1-G_2)}{1-G_2+G_1G_2} \end{align}
微分方程式の応用問題(大学院入試問題)
微分方程式の応用
問 方程式$\phi(x+y)+\phi(x-y)=\phi(x)\cdot\phi(y)$を満たす関数$\phi$を求めよ．
解
与式を$x$で微分すると， \begin{align} &\phi'(x+y)+\phi'(x-y)=\phi'(x)\cdot\phi(y),\\ &\phi''(x+y)+\phi''(x-y)=\phi''(x)\cdot\phi(y)\quad\cdots(1) \end{align} となる． 次に，与式を$y$で微分すると， \begin{align} &\phi'(x+y)-\phi'(x-y)=\phi(x)\cdot\phi'(y),\\ &\phi''(x+y)+\phi''(x-y)=\phi(x)\cdot\phi''(y)\quad\cdots(2) \end{align} となる． 式$(1),(2)$から， \begin{align} \dfrac{\phi''(x)\phi(y)}{\phi(x)\phi''(y)}=1 \end{align} が求まる．ゆえに， \begin{align} \dfrac{\phi''(x)}{\phi(x)}=\dfrac{\phi''(y)}{\phi(y)}=a\quad(a\text{：定数}) \end{align} これを微分方程式として解く．この際，$a$の値で場合分けを行う．
(i)$a=c^2＞0$のとき \begin{align} \phi''(x)=c^2\phi(x) \end{align} ここで，特性方程式， \begin{align} \lambda^2-c^2=0 \end{align} を解くと， \begin{align} \lambda=\pm c \end{align} ゆえに微分方程式の解は， \begin{align} \phi(x)=Ae^{cx}+Be^{-cx}\quad(A,B\text{：任意定数}) \end{align} ここで，元の方程式に解を代入すると， \begin{align} &Ae^{c(x+y)}+Be^{-c(x+y)}+Ae^{c(x-y)}+Be^{-c(x-y)}\\ =&(Ae^{cx}+Be^{-cx})(Ae^{cy}+Be^{-cy})\\ \Leftrightarrow&Ae^{c(x-y)}+Be^{-c(x-y)}-ABe^{c(x-y)}-ABe^{-c(x-y)}=0\\ \Leftrightarrow&A(1-B)e^{c(x-y)}+B(1-A)e^{-c(x-y)}=0\\ &\therefore 1-B=0,1-A=0,\text{または，}A=0,B=0\\ \end{align} 以上より， \begin{align} \phi(x)=e^{cx}+e^{-cx},\phi(x)=0 \end{align}
(ii)$a=0$のとき \begin{align} &\phi''(x)=0,\\ &\therefore \phi'(x)=A\\ &\therefore \phi(x)=Ax+B\quad(A,B\text{：任意定数}) \end{align} 元の方程式に代入すると， \begin{align} &A(x+y)+B+A(x-y)+B=(Ax+B)(Ay+B)\\ \Leftrightarrow&2Ax+2B=A^2xy+ABx+ABy+B^2=0\\ \Leftrightarrow&A^2xy+A(B-2)x+ABy+B(B-2)=0\\ &\therefore A^2=0,A(B-2)=0,AB=0,B(B-2)=0\\ &\therefore A=0,B=2,\text{または，}A=0,B=0 \end{align} 以上より， \begin{align} \phi(x)=2,\phi(x)=0 \end{align}
(iii)$a=-c^2＜0$のとき \begin{align} \phi''(x)=-c^2\phi(x) \end{align} 特性方程式， \begin{align} \lambda^2+c^2=0 \end{align} を解くと， \begin{align} \lambda=\pm ic \end{align} よって， \begin{align} \phi(x)=A\cos cx+B\sin cx\quad(A,B\text{：任意定数}) \end{align} 元の方程式に代入すると， \begin{align} &A\cos c(x+y)+B\sin c(x+y)+A\cos c(x-y)+B\sin c(x-y)\\ =&(A\cos cx+B\sin cx)(A\cos cy+B\sin cy)\\ \Leftrightarrow&2A\cos cx\cos cy+2B\sin cx\cos cy\\ =&A^2\cos cx\cos cy+B^2\sin cx\sin cy+AB\sin c(x+y)\\ \Leftrightarrow&A(A-2)\cos cx\cos cy+B^2\sin cx\sin cy-2B\sin cx\cos cy\\ &+AB\sin cx\cos cy+AB\cos cx\sin cy=0\\ &\therefore A=2,B=0,,\text{または，}A=0,B=0 \end{align} よって， \begin{align} \phi(x)=2\cos cx,\phi(x)=0 \end{align}
ガウスの法則の典型問題
ガウスの法則(Gauss's low)＜電磁気学＞
電磁気学を学ぶ上で欠くことのできないGaussの法則について述べる．
Gaussの法則
閉曲面の総電荷を$Q$とするとき，$E_n$を面要素$dS$における$\boldsymbol{E}$の外向きの法線方向成分とし，その閉曲面上で積分すると， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint E_n dS=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \end{align} と表される．ここで，Gaussの定理(ベクトル解析分野)を用いる．Gaussの定理は， \begin{align} \iiint_V\text{div}\boldsymbol{E}\cdot dV=\iint_S\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} \end{align} である．ゆえに， \begin{align} \iiint_V\text{div}\boldsymbol{E}\cdot dV=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \end{align} と求まる．ここで， \begin{align} Q=\iiint_V\rho dV \end{align} であるから，これよりGaussの法則の微分形， \begin{align} \text{div}\boldsymbol{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \end{align} が求まる．ただし，微分形に関しては，以下に示す問題等において実際にはあまり用いられない．
問1 半径$a$の球内に電荷$Q$が一様密度で分布している．このときの球内外の電界を求めよ．
半径$r$の球を考える．
(i)球の外部($r＞a$)に関して，Gaussの法則を適用する．ここで，電気力線は球の中心から対称に出ていくから， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=4\pi r^2E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \end{align}
(ii)球の内部($r＜a$)に関して，Gaussの法則を適用する．ここで，半径$r$の球に含まれる電荷は$\dfrac{Q r^3}{a^3}$であるから， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=4\pi r^2E=\dfrac{Q r^3}{\varepsilon_0 a^3}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^3}r \end{align}
問2 半径$a$の無限に長い円柱内に，単位長さ当たり$\lambda$で一様に電荷が分布している．このときの円柱内外に生じる電界を求めよ．
半径$r$の単位長さ(高さが1)の同軸円筒を考える．
(i)円筒外部($r＞a$)において，Gaussの法則を適用して， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=2\pi rE=\dfrac{\lambda}{\varepsilon_0}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \end{align}
(ii)円筒内部($r＜a$)において，Gaussの法則を適用する．ここで，半径$r$の単位長さ円筒に含まれる電荷は$\dfrac{r^2}{a^2}\lambda$であるから， \begin{align} \iint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}&=2\pi rE=\dfrac{\lambda r^2}{\varepsilon_0 a^2}\\ &\therefore\quad E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a^2}r \end{align}
以下に，各問の結果をグラフにしたものを示す．
