多変数関数の連続性
問
\begin{align}
f(x,y)=&\dfrac{x^3+(y+4)x^2+2y^2}{2x^2+y^2}\quad (x,y)\neq (0,0),\\
=&2\quad (x,y)=(0,0)
\end{align}
で表される関数が，$\mathbb{R^2}$で連続かどうか調べよ．
解
連続性の定義に従って議論する(*)．
始めに，$f(x,y)\neq(0,0)$において，$2x^2+y^2\neq0$であるから，この関数は正しく定義されている．また，$f(x,y)\neq(0,0)$において関数は有利関数であるから，連続である．
ここで， \begin{align} \dfrac{x^3+(y+4)x^2+2y^2}{2x^2+y^2}-2=&\dfrac{x^3+x^2y+2(2x^2+y^2)}{2x^2+y^2}-2\\ =&\dfrac{x^3+x^2y}{2x^2+y^2} \end{align} ここで，$(x,y)=(r\cos\phi,r\sin\phi)$と極座標表示すると， \begin{align} f(r\cos\phi,r\sin\phi)-2=&\dfrac{r^3\cos^3\phi+r^2\cos^2\phi\cdot r\sin\phi}{2t^2\cos^2\phi+r^2\sin^2\phi}\\ =&r\cdot\dfrac{\cos^2\phi(\cos\phi+\sin\phi)}{1+\cos^2\phi}\quad(r＞0) \end{align} ここで，\begin{align} &0\leq|\cos^2\phi|\leq1,\\ &0\leq|\cos\phi+\sin\phi|=\biggl|\sqrt{2}\sin\biggl(\phi+\dfrac{\pi}{4}\biggr)\biggr|\leq\sqrt{2},\\ &0＜\biggl|\dfrac{1}{1+\cos^2\phi}\biggr|\leq1 \end{align} であるから， \begin{align} \biggl|\dfrac{\cos^2\phi(\cos\phi+\sin\phi)}{1+\cos^2\phi}\biggr|\leq\sqrt{2} \end{align}
また，$|f(x,y)-2|\geq0$より， \begin{align} 0\leq|f(x,y)-2|\leq\sqrt{2}r \end{align}
ここで， \begin{align} \lim_{r\rightarrow 0}\sqrt{2}r=0 \end{align} であるから，はさみうちの原理より， \begin{align} \lim_{r\rightarrow 0}|f(x,y)-2|=0 \end{align} これは，$r\rightarrow 0$で，$\phi$に依存することなく$f(x,y)$が$2$に収束することを示している．
ゆえに，関数$f(x,y)$は原点$(0,0)$でも連続である．よって，関数$f(x,y)$は$\mathbb{R^2}$で連続である．
(*)関数の連続性
関数$f(x,y)$が$(x,y)=(0,0)$で連続ならば， \begin{align} \lim_{(x,y)=(0,0)}f(x,y)=f(0,0) \end{align} が成り立つ．
RL，RC，LC回路の過渡現象解析
RL，RC，LC回路の過渡現象をラプラス変換を用いて解析する．
1 RL回路
RL回路
上図のようなRL回路において$t=0$で直流電圧$E$を加えるとき，流れる電流を示せ．
解
$t＞0$において，回路方程式は \begin{align} Ri+L\dfrac{di}{dt}=E \end{align} とできる．ここでラプラス変換すると \begin{align} RI(s)+L sI(s)-LI(0)=\dfrac{E}{s} \end{align} 初期条件は，$t=0$で，$i=0$だから， \begin{align} (R+Ls)I(s)=\dfrac{E}{s} \end{align} となる．ゆえに， \begin{align} I(s)&=\dfrac{E}{s(sL+R)}\\ &=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+\frac{R}{L}} \end{align} と部分分数分解して，留数の性質を用いれば \begin{align} A&=\biggl[\dfrac{E}{sL+R}\biggr]_{s=0}=\dfrac{E}{R},\\ B&=\biggl[\dfrac{E}{s}\biggr]_{s=-\frac{R}{L}}=-\dfrac{E}{R} \end{align} と求まる． よって， \begin{align} I(s)=\dfrac{E}{Rs}-\dfrac{E}{R}\dfrac{1}{s+\frac{R}{L}} \end{align} ゆえに， \begin{align} i(s)=\dfrac{E}{R}\biggl(1-\varepsilon^{-\frac{R}{L}t}\biggr) \end{align} (電気回路分野では電圧$e$と区別するために，自然対数をしばしば$\varepsilon$で表現する．)
2 RC回路
RC回路
上図のようなRC回路において$t=0$で直流電圧$E$を加えるとき，流れる電流を示せ．ただし，キャパシタ$C$には初期電荷$Q$があるとする．
解
$t＞0$において回路方程式は \begin{align} R\dfrac{d q}{dt}+\dfrac{q}{C}=E \end{align} ここで，$i=\dfrac{d q}{dt}$を用いた．ラプラス変換すると， \begin{align} &R sQ(s)-RQ(0)+\dfrac{Q(s)}{C}=\dfrac{E}{s}\\ &\Leftrightarrow (R s+\dfrac{1}{C})Q(s)=\dfrac{E}{s}+RQ\\ &\Leftrightarrow (s+\dfrac{1}{RC})Q(s)=\dfrac{E}{R}\cdot\dfrac{1}{s}+Q\\ &\therefore Q(s)=\dfrac{E}{R}\cdot\dfrac{1}{s(s+\frac{1}{RC})}+\dfrac{Q}{s+\frac{1}{RC}} \end{align} ここで，第一項を部分分数分解して \begin{align} Q(s)&=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+\frac{1}{RC}}\\ A&=\biggl[\dfrac{1}{s+\frac{1}{RC}}\biggr]_{s=0}=RC\\ B&=\biggl[\dfrac{1}{s}\biggr]_{s=-\frac{1}{RC}}=-RC \end{align} となる．ゆえに， \begin{align} Q(s)=\dfrac{EC}{s}-\dfrac{EC}{s+\frac{1}{RC}}+\dfrac{Q}{s+\frac{1}{RC}} \end{align} よって， \begin{align} &q(s)=EC-EC\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t}+Q\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t}\\ &\therefore i(s)=\dfrac{d q(s)}{dt}=\biggl(\dfrac{E}{R}-\dfrac{Q}{RC}\biggr)\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t} \end{align} (補足)キャパシタが出てくる回路では，ラプラス変換の時間積分の性質を用いて，回路方程式を \begin{align} Ri+\dfrac{1}{C}\int i dt=E \end{align} として解くこともできる．
3 LC回路
LC回路
上図のようなLC回路で，$t=0$で直流電圧$E$を加えたときどのような電流が流れるか．ただし，キャパシタ$C$の初期電荷は$0$とする．
解
$t＞0$のとき，回路方程式は， \begin{align} L\dfrac{d^2 q}{dt^2}+\dfrac{q}{s}=E \end{align} ラプラス変換すると， \begin{align} &L s^2Q(s)-L sQ(0)-LQ'(0)+\dfrac{Q(s)}{s}=\dfrac{E}{s}\\ &\Leftrightarrow \biggl(L s^2+\dfrac{1}{C}\biggr)Q(s)=\dfrac{E}{s}\\ &\therefore Q(s)=\dfrac{E}{L}\cdot\dfrac{1}{s(s^2+\frac{1}{LC})} \end{align} ここで， \begin{align} Q(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B s+D}{s^2+\frac{1}{LC}} \end{align} と部分分数分解して，通分して定数を求めれば， \begin{align} A=LC,B=-LC,D=0 \end{align} が求まる．ゆえに， \begin{align} Q(s)=\dfrac{EC}{S}-EC\dfrac{s}{s^2+\frac{1}{LC}} \end{align} よって， \begin{align} q(s)&=EC-EC\cos\sqrt{\dfrac{1}{LC}}t\\ i(s)&=\dfrac{d q(s)}{dt}=\dfrac{EC}{\sqrt{LC}}\sin\sqrt{\dfrac{1}{LC}}t\\ &=\dfrac{E}{\sqrt{\dfrac{L}{C}}}\sin\sqrt{\dfrac{1}{LC}}t \end{align} 結果から，電流は正弦的に振動することが確認できる．これがLC回路の特性を示している．
追記
ラプラス変換を用いて回路解析を行う際に必要な数学的知識は，
・留数を用いた定数の決定
・ラプラス(逆)変換
等である．それぞれ分からないところは調べられたい．
ラプラス変換を用いた簡単な微分方程式
問 $y'+3y=10\sin t,\quad y(0)=0$をラプラス変換を用いて解け．
両辺をラプラス変換すれば， \begin{align} sY+3Y=10\cdot\dfrac{1}{s^2+1} \end{align} よって， \begin{align} Y=10\cdot\dfrac{1}{s+3}\cdot\dfrac{1}{s^2+1} \end{align} ここで，部分分数分解すると， \begin{align} Y=\dfrac{A}{s+3}+\dfrac{Bs+C}{s^2+1} \end{align} 分数部は， \begin{align} As^2+A+Bs^2+Cs+3Bs+3C=10 \end{align} となるから， \begin{align} A+B=0,C+3B=0,A+3C=10 \end{align} を解いて， \begin{align} A=1,B=-1,C=3 \end{align} が求まり， \begin{align} Y&=\dfrac{1}{s+3}+\dfrac{-s+3}{s^2+1}\\ &=\dfrac{1}{s+3}-\dfrac{s}{s^2+1}+3\cdot\dfrac{1}{s^2+1}\\ &\therefore y=e^{-3t}-\cos t+3\sin t \end{align}
平行平板コンデンサと誘電体
電磁気学＜平行平板コンデンサと誘電体に関する問題＞
問 極板間隔$d$の平行板コンデンサの極板間に，誘電率が一方のところで$\varepsilon_1$，そこからの距離に比例して増加し他方の極板では$\varepsilon_2$となるように誘電体が詰めてあるとき，単位面積当たりの容量を求めよ．
極板の一方から距離$x$の位置における誘電率は，一次関数で表現され， \begin{align} \varepsilon(x)=\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}x+\varepsilon_1 \end{align} となる．ここで，極板に面密度$\pm\rho$の電荷を与えると，電束密度は，$D=\rho$であるから， \begin{align} E(x)=\dfrac{\rho}{\varepsilon(x)} \end{align} ゆえに，電位差を求めると， \begin{align} V&=\int_{0}^{d}E(x)dx\\ &=\int_{0}^{d}\dfrac{\rho}{\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}x+\varepsilon_1}\\ &=\biggl[\dfrac{\rho d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}\ln((\varepsilon_2-\varepsilon_1)x+\varepsilon_1 d)\biggr]_{0}^{d}\\ &=\dfrac{\rho d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}\ln\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} \end{align}
よって，単位面積当たりの容量は， \begin{align} C=\dfrac{\rho}{V}=\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d\ln\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \end{align} となる．
追記
このサイトを書くにあたって，Mathjaxを用いて作成しているのだが，$を用いて数式を記述する際にsigma等が出力されないという問題が起こっている．もし解決方法を知っている場合にはぜひご教授願いたい．
Windowsでブラウザが動作しなくなった時の対処法
Windowsでブラウザが動作しなくなった時の対処法
ここ数日，Microsoft edgeを開こうとしても応答せず，非常に動作が遅いという問題が頻発した．いろいろと試した結果，正常な動作が戻ったので，その方法を記す．
結果としては，問題はブラウザ上の一時ファイルが多すぎて，メモリを圧迫していたことであった．自分はMicrosoft edgeを使用しているが，簡単に一時ファイルを消去できるので，同じような問題にぶつかったことがある方は一度試してみてほしい．
手順は，[設定(右上にある・・・を開く)]→[プライバシー，検索，サービス]→[「閲覧データをクリア」メニューの今すぐ閲覧データをクリア]→[クリアするデータの選択]を開き，クリアするデータを選択する．
自分の場合は，
・閲覧の履歴
・ダウンロードの履歴
・Cookieおよびその他のサイトデータ
・キャッシュされた画像とファイル
の4項目をクリアして動作が元に戻った．(おそらくダウンロードの履歴が悪さをしていた．)
この操作を行っても解決しない場合には，ほかの方法を探してほしい．
個人としては，edgeのアップデート，windowsのアップデートなどを試してみたが何も変わらなかったため，原因の特定に時間がかかった．再現ができる範囲で，いろいろと試してみるといいかもしれない．
微分方程式の解法～未定係数法～
微分方程式＜未定係数法＞
ここでは，定数係数の非同次方程式の解き方を述べる．そのような微分方程式において，常にうまくいく一般的な方法の定数変化法があるが，未定係数法は特別な場合に適用でき，非常に明快で有用な方法である．
非同次方程式の一般解を， \begin{align} y(x)=y_h(x)+y_p(x) \end{align} と表現することにする．ここで，$y_h(x)$は同次方程式の一般解であり，$y_p(x)$は非同次方程式の特殊解である．ゆえに，この特殊解$y_p(x)$を求めることが目標となる．
未定係数法は， \begin{align} y''+ay'+by=r(x)\quad\cdots(\mathrm{i}) \end{align} で表される，定数係数の微分方程式に適用される．ここで，$r(x)$は特別な初等関数であり，指数関数，多項式，余弦および正弦関数または，これらの関数の和や積である．これらの初等関数の類似点があるとすれば，なにが思いつくだろうか．これらには，その導関数がもとの関数の形に似ているという特徴がある．この特徴が未定係数法の要点である．つまり，$y_p(x)$に$r(x)$に似た形の関数を選び，それを代入し，係数を求めるという方針である．
以下には，具体的な計算手順，およびいくつかの規則を示す．
(1) 計算手順
(i)の$r(x)$と$y_p(x)$が，以下の対応関係となるような関数を選択する．そして，$y_p(x)$とその導関数を(i)に代入して未定係数を求める． \begin{align} &"r(x)\rightarrow y_p(x)"\\ &ke^{\gamma x}\rightarrow Ce^{\gamma x}\\ &kx^n\quad(n=0,1,\cdots)\rightarrow K_nx^n+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_1x+K_0\\ &k\cos\omega x,k\sin\omega x\rightarrow K\cos\omega x+M\sin\omega x\\ &ke^{\alpha x}\cos\omega x,ke^{\alpha x}\sin\omega x\rightarrow e^{\alpha x}(K\cos\omega x+M\sin \omega x) \end{align} また$r(x)$が定数の場合には，$y_p(x)$に定数をとればよい．
(2) 修正則
$y_p(x)$として選択した項が，(i)の同次方程式の解になってしまったときは，その解が同次方程式の特性方程式の単根となっているならば$y_p(x)$に$x$を乗じ，重根に相当しているならば$y_p(x)$に$x^2$を乗じる．
(3) 和の規則
$r(x)$と$y_p(x)$が上述した対応関係の和で表現されている場合，例えば， \begin{align} r(x)=ke^{\alpha x}+k\cos\omega x \end{align} のようなとき，それぞれの項に対応する$y_p(x)$の和を用いる．
以下に，例題を示す．
問
非同次方程式， \begin{align} y''+4y=8x^2 \end{align} の解を求めよ．
$r(x)=8x^2$だから，$y_p(x)=K_2x^2+K_1x+K_0$とする．$y''(x)=2K_2$を代入して， \begin{align} 2K_2+4K_2x^2+4K_1x+4K_0=8x^2\\ \therefore K_0=-1,K_1=0,K_2=2 \end{align} また，同次方程式の一般解は，その特性方程式から \begin{align} \lambda^2+4=0\\ \therefore \lambda=\pm 2 \end{align} よって， \begin{align} y_h(x)=A\cos2x+B\sin2x \end{align} ここで，$A,B$は任意定数である．
ゆえに，この方程式の一般解は， \begin{align} y=A\cos2x+B\sin2x+2x^2-1 \end{align} となる．
ここで，$y_p(x)=K_2x^2$とした場合，つまり$r(x)$の次数の項のみとした場合には解が求まらないことが分かる．
問
非同次方程式， \begin{align} y''-3y'+2y=e^x \end{align} の解を求めよ．
同次方程式の一般解は，$y_h(x)=c_1e^x+c_2e^{2x}$であり，$y_p(x)$は$Ce^x$としたいが，これは同次方程式の単根に相当するので，特殊解$y_p(x)=Cxe^x$とすると，解が求まる．
参考文献
ラグランジュの未定乗数法
ラグランジュの未定乗数法
条件付き極値問題を解く際に，ラグランジュの未定乗数法を用いることで，条件関数の陰関数が具体的の与えられない場合や複雑なものを解くことができる．
ラグランジュの未定乗数法
$f(x,y),g(x,y)$を$C^1$級とする．さらに$\lambda$を変数として， \begin{align} F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y) \end{align} とおく．ここで，点$(a,b)$が次を満たすとする．
(i) 関数$f(x,y)$は，条件$g(x,y)=0$の下で，点$(a,b)$において極値をとる$(g(a,b)=0)$．
(ii) $g_x(a,b)=g_y(a,b)=0$でない(点$(a,b)$は曲線$g(x,y)=0$の正則点である)．
このとき， \begin{align} F_x(a,b,\alpha)=F_y(a,b,\alpha)=F_\lambda(a,b,\alpha)=0 \end{align} を満たす$\alpha \in \mathbb{R}$が存在する．
問 条件$2xy^2+x^2y-8=0$の下で，関数$f(x,y)=x+2y$の極値を求めよ．
上記したラグランジュの未定乗数法を用いる．
$g(x,y)=2xy^2+x^2y-8$とおく．ここで， \begin{align} F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y) \end{align} とする． \begin{align} F_x&=-2\lambda y^2-2\lambda xy+1,\\ F_y&=-\lambda x^2-4\lambda xy+2,\\ F_\lambda&=-2xy^2-x^2 y+8 \end{align} であるから，$F_x=0,F_y=0$のとき， \begin{align} &-2\lambda y^2-2\lambda xy+1=0,\\ &-\lambda x^2-4\lambda xy+2=0 \end{align} ここで，$y(x+y)\neq 0,x(x+4y)\neq0$に対して， \begin{align} \lambda=\dfrac{1}{2y(x+y)}=\dfrac{2}{x(x+4y)} \end{align} これより， \begin{align} x=\pm 2y \end{align}
[1] $x=2y$のとき \begin{align} &-2(2y)y^2-(2y)^2y+8=0\\ &\Leftrightarrow y^3=1\\ &\Leftrightarrow (y-1)(y^2+y+1)=0\\ &\therefore y=-1,\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{align} $x,y\in\mathbb{R}$であるから，$y=1$．よって，$x=2$となる．
[2] $x=-2y$のとき
$F_\lambda=0$を満たす$(x,y)$の組は存在しない(実際に代入してみれば分かる)．
よって，極値をとりうる点は$(2,1)$のみとなる．
点$(2,1)$の近くでの$g(x,y)=0$の陰関数を，$y=\phi(x)$とおき，$h(x)=(x,\phi(x))$とおく． \begin{align} g(x,\phi(x))=2x\phi^2(x)+x^2\phi(x)-8=0 \end{align} を$x$で微分すると， \begin{align} &2\phi^2(x)+4x\phi'(x)\phi(x)+2x\phi(x)+x^2\phi'(x)=0\\ &\therefore \phi'(x)=-\dfrac{2\phi(x)(x+\phi(x))}{x(x+4\phi(x))}\biggr|_{x=2}=-\dfrac{1}{2} \end{align} さらに$x$で微分して(合成関数の微分法を用いれば上と同様に求まるので，読者自身で確かめられたい．)， \begin{align} \phi''(x)\biggr|_{x=2}=\dfrac{1}{3} \end{align}
よって，$h'(x)=1+2\phi'(x)$であるから， \begin{align} h'(2)=0 \end{align} つまり極値をとり，さらに， \begin{align} h''(x)=2\phi''(x)\biggr|_{x=2}=\dfrac{2}{3}＞0 \end{align} 極小値をとることが分かる．
以上より，$f(x,y)$は，$(x,y)=(2,1)$で極小値 \begin{align} f(2,1)=4 \end{align} をとる． $\blacksquare$
ラグランジュの未定乗数法は，乗数$\lambda$を$n$個設定し，$n$次元まで拡張することができる．
